基于概率论的分类方法：朴素贝叶斯
1. 概述
贝叶斯分类是一类分类算法的总称，这类算法均以贝叶斯定理为基础，故统称为贝叶斯分类。本章首先介绍贝叶斯分类算法的基础——贝叶斯定理。最后，我们通过实例来讨论贝叶斯分类的中最简单的一种: 朴素贝叶斯分类。
2. 贝叶斯理论 & 条件概率
2.1 贝叶斯理论
我们现在有一个数据集，它由两类数据组成，数据分布如下图所示：
我们现在用 p1(x,y) 表示数据点 (x,y) 属于类别 1（图中用圆点表示的类别）的概率，用 p2(x,y) 表示数据点 (x,y) 属于类别 2（图中三角形表示的类别）的概率，那么对于一个新数据点 (x,y)，可以用下面的规则来判断它的类别：
如果 p1(x,y) > p2(x,y) ，那么类别为1如果 p2(x,y) > p1(x,y) ，那么类别为2
也就是说，我们会选择高概率对应的类别。这就是贝叶斯决策理论的核心思想，即选择具有最高概率的决策。
2.1.2 条件概率
如果你对 p(x,y|c1) 符号很熟悉，那么可以跳过本小节。
有一个装了 7 块石头的罐子，其中 3 块是白色的，4 块是黑色的。如果从罐子中随机取出一块石头，那么是白色石头的可能性是多少？由于取石头有 7 种可能，其中 3 种为白色，所以取出白色石头的概率为 3/7 。那么取到黑色石头的概率又是多少呢？很显然，是 4/7 。我们使用 P(white) 来表示取到白色石头的概率，其概率值可以通过白色石头数目除以总的石头数目来得到。
如果这 7 块石头如下图所示，放在两个桶中，那么上述概率应该如何计算？
计算 P(white) 或者 P(black) ，如果事先我们知道石头所在桶的信息是会改变结果的。这就是所谓的条件概率（conditional probablity）。假定计算的是从 B 桶取到白色石头的概率，这个概率可以记作 P(white|bucketB) ，我们称之为“在已知石头出自 B 桶的条件下，取出白色石头的概率”。很容易得到，P(white|bucketA) 值为 2/4 ，P(white|bucketB) 的值为 1/3 。
条件概率的计算公式如下：
P(white|bucketB) = P(white and bucketB) / P(bucketB)
首先，我们用 B 桶中白色石头的个数除以两个桶中总的石头数，得到 P(white and bucketB) = 1/7 .其次，由于 B 桶中有 3 块石头，而总石头数为 7 ，于是 P(bucketB) 就等于 3/7 。于是又 P(white|bucketB) = P(white and bucketB) / P(bucketB) = (1/7) / (3/7) = 1/3 。
另外一种有效计算条件概率的方法称为贝叶斯准则。贝叶斯准则告诉我们如何交换条件概率中的条件与结果，即如果已知 P(x|c)，要求 P(c|x)，那么可以使用下面的计算方法：
使用条件概率来分类
上面我们提到贝叶斯决策理论要求计算两个概率 p1(x, y) 和 p2(x, y):
如果 p1(x, y) > p2(x, y), 那么属于类别 1;如果 p2(x, y) > p1(X, y), 那么属于类别 2.
这并不是贝叶斯决策理论的所有内容。使用 p1() 和 p2() 只是为了尽可能简化描述，而真正需要计算和比较的是 p(c1|x, y) 和 p(c2|x, y) .这些符号所代表的具体意义是: 给定某个由 x、y 表示的数据点，那么该数据点来自类别 c1 的概率是多少？数据点来自类别 c2 的概率又是多少？注意这些概率与概率 p(x, y|c1) 并不一样，不过可以使用贝叶斯准则来交换概率中条件与结果。具体地，应用贝叶斯准则得到:
使用上面这些定义，可以定义贝叶斯分类准则为:
如果 P(c1|x, y) > P(c2|x, y), 那么属于类别 c1;如果 P(c2|x, y) > P(c1|x, y), 那么属于类别 c2.
在文档分类中，整个文档（如一封电子邮件）是实例，而电子邮件中的某些元素则构成特征。我们可以观察文档中出现的词，并把每个词作为一个特征，而每个词的出现或者不出现作为该特征的值，这样得到的特征数目就会跟词汇表中的词的数目一样多。
我们假设特征之间 相互独立 。所谓 独立(independence) 指的是统计意义上的独立，即一个特征或者单词出现的可能性与它和其他单词相邻没有关系，比如说，“我们”中的“我”和“们”出现的概率与这两个字相邻没有任何关系。这个假设正是朴素贝叶斯分类器中 朴素(naive) 一词的含义。朴素贝叶斯分类器中的另一个假设是，每个特征同等重要。
Note: 朴素贝叶斯分类器通常有两种实现方式: 一种基于伯努利模型实现，一种基于多项式模型实现。这里采用前一种实现方式。该实现方式中并不考虑词在文档中出现的次数，只考虑出不出现，因此在这个意义上相当于假设词是等权重的。
2.2 朴素贝叶斯 场景
机器学习的一个重要应用就是文档的自动分类。
在文档分类中，整个文档（如一封电子邮件）是实例，而电子邮件中的某些元素则构成特征。我们可以观察文档中出现的词，并把每个词作为一个特征，而每个词的出现或者不出现作为该特征的值，这样得到的特征数目就会跟词汇表中的词的数目一样多。
朴素贝叶斯是上面介绍的贝叶斯分类器的一个扩展，是用于文档分类的常用算法。下面我们会进行一些朴素贝叶斯分类的实践项目。
2.3 朴素贝叶斯 原理
朴素贝叶斯 工作原理
提取所有文档中的词条并进行去重
获取文档的所有类别计算每个类别中的文档数目对每篇训练文档:对每个类别: 如果词条出现在文档中-->增加该词条的计数值（for循环或者矩阵相加） 增加所有词条的计数值（此类别下词条总数）
对每个类别:
对每个词条: 将该词条的数目除以总词条数目得到的条件概率（P(词条|类别)）
返回该文档属于每个类别的条件概率（P(类别|文档的所有词条)）
2.4 朴素贝叶斯 开发流程
收集数据: 可以使用任何方法。
准备数据: 需要数值型或者布尔型数据。
分析数据: 有大量特征时，绘制特征作用不大，此时使用直方图效果更好。
训练算法: 计算不同的独立特征的条件概率。
测试算法: 计算错误率。
使用算法: 一个常见的朴素贝叶斯应用是文档分类。可以在任意的分类场景中使用朴素贝叶斯分类器，不一定非要是文本。
2.5 朴素贝叶斯 算法特点
优点: 在数据较少的情况下仍然有效，可以处理多类别问题。
缺点: 对于输入数据的准备方式较为敏感。适用数据类型: 标称型数据。2.6 朴素贝叶斯 项目案例
2.6.1 项目案例1
屏蔽社区留言板的侮辱性言论
2.6.1.1 项目概述
构建一个快速过滤器来屏蔽在线社区留言板上的侮辱性言论。如果某条留言使用了负面或者侮辱性的语言，那么就将该留言标识为内容不当。对此问题建立两个类别: 侮辱类和非侮辱类，使用 1 和 0 分别表示。
2.6.1.2 开发流程
收集数据: 可以使用任何方法
准备数据: 从文本中构建词向量
分析数据: 检查词条确保解析的正确性
训练算法: 从词向量计算概率
测试算法: 根据现实情况修改分类器
使用算法: 对社区留言板言论进行分类
收集数据: 可以使用任何方法
2.6.1.3 构造词表
def loadDataSet(): """ 创建数据集 :return: 单词列表postingList, 所属类别classVec """ postingList = [['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'], #[0,0,1,1,1......] ['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'], ['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'], ['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'], ['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'], ['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']] classVec = [0, 1, 0, 1, 0, 1] # 1 is abusive, 0 not return postingList, classVec
2.6.1.4 准备数据: 从文本中构建词向量
def createVocabList(dataSet): """ 获取所有单词的集合 :param dataSet: 数据集 :return: 所有单词的集合(即不含重复元素的单词列表) """ vocabSet = set([]) # create empty set for document in dataSet: # 操作符 | 用于求两个集合的并集 vocabSet = vocabSet | set(document) # union of the two sets return list(vocabSet)def setOfWords2Vec(vocabList, inputSet): """ 遍历查看该单词是否出现，出现该单词则将该单词置1 :param vocabList: 所有单词集合列表 :param inputSet: 输入数据集 :return: 匹配列表[0,1,0,1...]，其中 1与0 表示词汇表中的单词是否出现在输入的数据集中 """ # 创建一个和词汇表等长的向量，并将其元素都设置为0 returnVec = [0] * len(vocabList)# [0,0......] # 遍历文档中的所有单词，如果出现了词汇表中的单词，则将输出的文档向量中的对应值设为1 for word in inputSet: if word in vocabList: returnVec[vocabList.index(word)] = 1 else: print "the word: %s is not in my Vocabulary!" % word return returnVec
2.6.1.5 分析数据: 检查词条确保解析的正确性
检查函数执行情况，检查词表，不出现重复单词，需要的话，可以对其进行排序。
>>> listOPosts, listClasses = bayes.loadDataSet()>>> myVocabList = bayes.createVocabList(listOPosts)>>> myVocabList['cute', 'love', 'help', 'garbage', 'quit', 'I', 'problems', 'is', 'park','stop', 'flea', 'dalmation', 'licks', 'food', 'not', 'him', 'buying', 'posting', 'has', 'worthless', 'ate', 'to', 'maybe', 'please', 'dog', 'how','stupid', 'so', 'take', 'mr', 'steak', 'my']
检查函数有效性。例如：myVocabList 中索引为 2 的元素是什么单词？应该是是 help 。该单词在第一篇文档中出现了，现在检查一下看看它是否出现在第四篇文档中。
>>> bayes.setOfWords2Vec(myVocabList, listOPosts[0])[0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]>>> bayes.setOfWords2Vec(myVocabList, listOPosts[3])[0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0]
2.6.1.6 训练算法: 从词向量计算概率
现在已经知道了一个词是否出现在一篇文档中，也知道该文档所属的类别。接下来我们重写贝叶斯准则，将之前的 x, y 替换为 w. 粗体的 w 表示这是一个向量，即它由多个值组成。在这个例子中，数值个数与词汇表中的词个数相同。
我们使用上述公式，对每个类计算该值，然后比较这两个概率值的大小。
首先可以通过类别 i (侮辱性留言或者非侮辱性留言)中的文档数除以总的文档数来计算概率 p(ci) 。接下来计算 p(w | ci) ，这里就要用到朴素贝叶斯假设。如果将 w 展开为一个个独立特征，那么就可以将上述概率写作 p(w0, w1, w2...wn | ci) 。这里假设所有词都互相独立，该假设也称作条件独立性假设（例如 A 和 B 两个人抛骰子，概率是互不影响的，也就是相互独立的，A 抛 2点的同时 B 抛 3 点的概率就是 1/6 * 1/6），它意味着可以使用 p(w0 | ci)p(w1 | ci)p(w2 | ci)...p(wn | ci) 来计算上述概率，这样就极大地简化了计算的过程。
2.6.1.7 朴素贝叶斯分类器训练函数
def _trainNB0(trainMatrix, trainCategory): """ 训练数据原版 :param trainMatrix: 文件单词矩阵 [[1,0,1,1,1....],[],[]...] :param trainCategory: 文件对应的类别[0,1,1,0....]，列表长度等于单词矩阵数，其中的1代表对应的文件是侮辱性文件，0代表不是侮辱性矩阵 :return: """ # 文件数 numTrainDocs = len(trainMatrix) # 单词数 numWords = len(trainMatrix[0]) # 侮辱性文件的出现概率，即trainCategory中所有的1的个数， # 代表的就是多少个侮辱性文件，与文件的总数相除就得到了侮辱性文件的出现概率 pAbusive = sum(trainCategory) / float(numTrainDocs) # 构造单词出现次数列表 p0Num = zeros(numWords) # [0,0,0,.....] p1Num = zeros(numWords) # [0,0,0,.....] # 整个数据集单词出现总数 p0Denom = 0.0 p1Denom = 0.0 for i in range(numTrainDocs): # 是否是侮辱性文件 if trainCategory[i] == 1: # 如果是侮辱性文件，对侮辱性文件的向量进行加和 p1Num += trainMatrix[i] #[0,1,1,....] + [0,1,1,....]->[0,2,2,...] # 对向量中的所有元素进行求和，也就是计算所有侮辱性文件中出现的单词总数 p1Denom += sum(trainMatrix[i]) else: p0Num += trainMatrix[i] p0Denom += sum(trainMatrix[i]) # 类别1，即侮辱性文档的[P(F1|C1),P(F2|C1),P(F3|C1),P(F4|C1),P(F5|C1)....]列表 # 即 在1类别下，每个单词出现的概率 p1Vect = p1Num / p1Denom# [1,2,3,5]/90->[1/90,...] # 类别0，即正常文档的[P(F1|C0),P(F2|C0),P(F3|C0),P(F4|C0),P(F5|C0)....]列表 # 即 在0类别下，每个单词出现的概率 p0Vect = p0Num / p0Denom return p0Vect, p1Vect, pAbusive